Dr. Arsham's Estadística Sitio

Un tipo importante de problemas de decisión bajo incertidumbre es caracterizado por el pequeño chance de ocurrencia de un acontecimiento particular, tal como un accidente. La función de probabilidad de Poisson calcula la probabilidad de exactamente x ocurrencias independientes durante un período de tiempo dado, si los eventos ocurren independientemente y a una tasa constante. La función de la probabilidad de Poisson también representa el número de ocurrencias sobre áreas o volúmenes constantes:

Las probabilidades de Poisson se utilizan a menudo; por ejemplo en control de calidad, confiabilidad de software y hardware, reclamos de seguro, el número de llamadas telefónicas entrantes, y la teoría de alineación.

Una aplicación: Uno de los usos más útiles de la distribución de Poisson es en el campo de la teoría de alineación. En muchas situaciones donde ocurren colas, se ha demostrado que el número de la gente que se une a la misma en un período de tiempo dado, sigue el modelo de Poisson. Por ejemplo, si el índice de llegadas a una sala de emergencia es l por unidad de período de tiempo (1 hora), entonces:

P ( n llegadas) = lⁿ e^-l/ n!

La media y la varianza de la variable aleatoria n son ambas l . Sin embargo si la media y la varianza de una variable aleatoria tienen valores numéricos iguales, no necesariamente implica que su distribución es de Poisson. Su moda está dentro del intervalo [l -1, l].

Aplicaciones:

P ( 0 llegadas) = e^-lP ( 1 llegada) = l e^-l/ 1!P ( 2 llegadas) = l² e^-l/ 2!

y así sucesivamente, en general:

P ( n+1 llegadas) = l P ( n llegadas) / n.

Aproximación Normal para Poisson: Todas las tablas de Poisson se limitan en su alcance; por lo tanto, es necesario utilizar la distribución normal estándar para calcular las probabilidades de Poisson. El siguiente ejemplo numérico ilustra cuan buena la aproximación podría ser.

Ejemplo Numérico: Los pacientes de la sala emergencia llegan a un hospital a una tasa de 0,033 por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos pacientes lleguen durante los próximos 30 minutos?

La tasa de llegada durante 30 minutos es l = (30)(0,033) = 1. Por lo tanto,

P (2 llegadas) = [1² /(2!)] e^-1 = 18%

La media y la desviación estándar de la distribución son:

m = l = 1, and s = l ^1/2 = 1,

respectivamente; por lo tanto, las observaciones estandarizadas para n = 2, mediante el uso del factor continuo (el cual siempre engrandece) son:

z₁ = [(r-1/2) - m] / s = (1,5 -1)/1 = 0,5, y

z₂ = [(r+1/2) - m] / s = (2,5 -1)/1 = 1,5.

Por lo tanto, la P (2 llegadas) aproximada es P (z estando entre los intervalos 0,5, 1,5). Ahora, mediante el uso de la tabla normal estándar, se obtiene:

P (2 llegadas) = 0,43319 – 0,19146 = 24%

Como se puede observar la aproximación se sobrestima levemente, por lo tanto el error está en el lado seguro. Para valores grandes de l, digamos mayores a 20, se podría utilizar la aproximación normal para el cálculo de las probabilidades de Poisson.

Note que tomando la raíz cuadrada de una variable aleatoria de Poisson, la variable aleatoria, transformada es más simétrica. Esto es una transformación útil en el análisis de regresión de las observaciones de Poisson.

A usted podría gustarle utilizar el JavaScript de la Función de Probabilidad de Poisson para realizar sus cálculos, y la Prueba de Poisson para realizar la calidad de ajuste.

Función de Densidad T de Student

Las distribuciones t fueron descubiertas en 1908 por William Gosset, que era un químico y estadístico empleado por la compañía de elaboración de la cerveza Guinness. Él se consideraba como un estudiante todavía que aprendía estadística, y el firmaba sus trabajos bajo el seudónimo de “estudiante”, o quizás él utilizó el seudónimo debido a las restricciones “secretas” de Guinness.

Observe que hay diversas distribuciones t; esta es una clase de distribuciones. Cuando hablamos de una distribución específica t, tenemos que especificar los grados de libertad. Las curvas de la densidad t son simétricas y acampanadas como la distribución normal y tienen su pico en 0. Sin embargo, la extensión es mayor que el de la distribución normal estándar. Mientras mas grandes sean los grados de libertad, más cercana se encuentra la densidad t de la densidad normal.

La forma de una distribución t depende del parámetro llamado “grado de libertad”. Mientras el grado de libertad sea mas grande, distribución t se asemeja mas y mas a la distribución estándar normal.. Para propósitos prácticos, la distribución se maneja como una distribución normal estándar cuando los grados de libertad sean mayores a 30.

Suponga que tenemos dos variables aleatorias independientes, una es Z, distribuida como la distribución normal estándar, y la otra esta distribuida como la Chi-cuadrado con (n-1) gl; entonces la variable aleatoria:

(n-1)Z / c²

tiene una distribución t con (n-1) gl, para tamaños de muestra grande (n mayor a 30), la nueva variable aleatoria tiene un valor esperado igual a cero, y su varianza es (n-1)/(n-3) la cuál se acerca a uno.

Note que la t estadística está relacionada con la F-estadística de la siguiente forma: F = t², donde F tiene (gl₁ = 1, y gl₂ = gl de la tabla t).

A usted podría gustarle utilizar la Densidad t de Student para obtener sus valores de P.

Función de Densidad Triangular

La distribución triangular muestra el número de éxitos cuando se saben el mínimo, el máximo, y los valores más probable. Por ejemplo, se podría describir el número de productos consumidos por semana cuando los últimos datos de consumo muestran el mínimo, el máximo, y el número más probable de los casos considerados. Esta representa una distribución de probabilidad.

Los parámetros para la distribución triangular son: Mínimo, máximo, y lo más probablemente posible. Existen tres condiciones subyacente a la distribución triangular:

El número mínimo de artículos es fijo.
El número máximo de artículos es fijo.
El número más probable de artículos se encuentra entre los valores mínimos y máximos.

Estos tres parámetros forman una distribución triangular, la cual muestra que los valores cerca del mínimo y del máximo son menos probables de ocurrir que eso cercanos el valor más probable.

Función de Densidad Uniforme

La función de densidad uniforme proporciona la probabilidad de que una observación ocurrirá dentro de un intervalo particular [a, b] cuando la probabilidad de la ocurrencia dentro de ese intervalo es directamente proporcional a la longitud del intervalo. Su media y varianza son:

m = (a+b)/2, s² = (b-a)²/12.

Aplicaciones: usada para generar números aleatorios azar en muestreos y en la simulación de Monte Carlo.

Comentarios: Caso especial de la distribución beta.

A usted podría gustarle utilizar Prueba de Bondad de Ajuste uniforme y realizar algunos experimentos numéricos para una comprensión mas profunda de los conceptos.

Note que cualquier distribución uniforme tiene incontable número de modas que tienen igual valor de densidad; por lo tanto se considera como población homogénea.

Condiciones Necesarias para la toma de Decisiones Estadísticas

Introducción a las Condiciones Necesarias para el Análisis Deductivo de Datos: No aprenda simplemente fórmulas y combinaciones de números. Aprenda sobre las condiciones bajo las cuales los métodos de prueba estadística se aplican. Las condiciones siguientes son comunes para casi todas las pruebas estadísticas:

Cualquier outliers puede tener impacto importante y puede influenciar los resultados de casi toda la valoración y métodos de pruebas estadísticas.
Población homogénea. Es decir, no hay más de una moda. Realice la Prueba para la Homogeneidad de una Población
La muestra debe ser aleatoria. Realice la Prueba de Aleatoriedad .
Además del requisito de homogeneidad, cada población tiene una distribución normal. Realice la Prueba de Lilliefors para la Normalidad .
Homogeneidad de las varianzas. La variación en cada población es casi igual que la que ocurre en otras poblaciones. Realice la Prueba De Bartlett .
Para dos poblaciones utilice la prueba F. Para 3 o más poblaciones existe una regla práctica conocida como la “regla de 2”. En esta regla, se divide la varianza más alta de una muestra por la varianza más baja de la otra muestra. Dado que los tamaños de las muestras similares, y el valor de la división es menor a 2, las variaciones de las poblaciones son casi iguales.
Aviso: Esta importante condición en el análisis de la varianza (ANOVA y la prueba t para diferencias en las medias) es comúnmente evaluada por la prueba de Levene o su prueba modificada conocida como la prueba Brown-Forsythe. Interesante, ambas pruebas confían en la condición de homogeneidad de las varianzas!

Estas condiciones son cruciales, no para el método de cálculo, sino para la prueba usando el estadístico resultante. De otra forma, podríamos hacer ANOVA y regresión sin ningún supuesto, y los números resultantes serían los mismos. Simples cálculos nos darían los ajustes de último cuadrado, particiones de la varianza, coeficientes de regresión, etcétera. Necesitamos las condiciones anteriores cuando la prueba de hipótesis es nuestra preocupación principal.

Medida de Extrañeza para la Detección del Resultados

Las técnicas estadísticas fuertes son necesarias hacer frente a cualquier outlier desapercibido; si no fuesen mas probables de invalidar las técnicas estadísticas de las condiciones subyacentes , , y podrían distorsionar seriamente las estimaciones y producir conclusiones engañosas de la prueba de hipótesis. Un acercamiento común consiste en asumir que los modelos contaminados, son diferentes a los que se generan el resto de los datos, generan los outliers (posibles).

Debido a una varianza potencialmente grande, los outliers podían ser los resultados de los errores de muestreo o de los errores administrativos tales como recolección de datos. Por lo tanto, usted debe ser muy cuidadoso y cauteloso. Antes de declarar una observación como “outlier”, descubra porqué y cómo ocurrió tal observación. Esto incluso podría ser un error en la etapa que entraba de los datos mientras se usa cualquier paquete de la computadora.

En la práctica, cualquier observación con un valor estandardizado mayor de 2,5 en valor absoluto es un candidato a ser un outlier. En tal caso, es necesario primero investigar la fuente del dato. Si no hay duda sobre la exactitud o la veracidad de la observación, entonces debe ser quitada, y el modelo debe ser reinstalado.

Calcule la media () y la desviación estándar (S) de la muestra entera.
Fije los límites para la media : - k ´ S, + k ´ S. Un valor típico para k es 2,5
Remueva todos los valores de la muestra fuera de los límites.
Ahora, itere con el algoritmo, el grupo de la muestra debería reducirse después de quitar los outliers aplicando el paso 3.
En la mayoría de los casos, necesitamos iterar con este algoritmo varias veces hasta que todos los outliers sean removidos.

Una aplicación: Suponga usted pide que diez de sus compañeros de clase midan una longitud dada X. Los resultados (en el milímetro) son:

46, 48, 38, 45, 47, 58, 44, 45, 43, 44

¿Es 58 un outlier? Calculando la media y la varianza de las diez medidas usando el Javascript de Estadística Descriptiva de Muestreo se obtiene 45,8 y 5,1 respectivamente (después de los ajustes necesarios). El valor Z para 58 es Z (58) = 2,4. Puesto que las medidas, en general, siguen una distribución normal, por lo tanto,

la probabilidad [X tan grande como 2,4 veces la desviación estándar] = 0,008,

obtenida mediante el uso del Javascript Valor P Normal Estándar o de la tabla normal en su libro de textos.

De acuerdo a esta probabilidad, se espera que solamente 0,09 de las diez medidas sean tan malas como ésta. Esto es un acontecimiento muy raro, sin embargo, como esta probabilidad tan pequeña ha ocurrido, podría ser que sea un outlier.

La próxima medida mas sospechada es 38, ¿es este un outlier? Esta es una pregunta para usted.

Nota: La detección de outliers en una población simple no es demasiado difícil. Frecuentemente, sin embargo, se puede discutir que los outliers detectados no sean realmente outliers, sino una formar de una segunda población . Si éste es el caso, un acercamiento a la separación de datos necesita ser tomado.

A usted podría gustarle utilizar Identificación de Outliers en Javascript para la realización de algunas experimentaciones numéricas para validar y para obtener una comprensión más profunda de los conceptos.

Población Homogénea

Una población homogénea es una población estadística que tiene una única moda.

Note que, por ejemplo, una distribución Uniforme tiene incontable número de modas que tienen valor de densidad igual; por lo tanto se considera como población homogénea.

Para determinarse si una población dada es homogénea o no, construya el histograma de una muestra escogida al azar de la población entera. Si hay más de una moda, se tiene una mezcla de una o mas poblaciones diversas. Sepa que para realizar cualquier prueba estadística, usted necesita cerciorarse de que usted esté tratando con una población homogénea.

Uno de las aplicaciones principales de la histografía es Probar la Homogeneidad de una Población. La unimodalidad del histograma es una condición necesaria para la homogeneidad de una población con el objetivo de conducir cualquier análisis estadístico significativo. Sin embargo, note que, una distribución Uniforme tiene incontables cantidades de modas que tienen valor de densidad igual; por lo tanto se considera como población homogénea.

Prueba de Aleatoriedad: la Prueba de Corridas (Wald-Wolfowitz)

Una condición básica en casi toda la estadística deductiva es que un sistema de datos constituye una muestra escogida aleatoria de una población homogénea dada. La condición de la aleatoriedad es esencial para cerciorarse de que la muestra es verdaderamente representativa de la población. La prueba mas usada para la aleatoriedad es la Prueba de corridas (Wald-Wolfowitz).

Una “Corrida” es una sub secuencia máxima de elementos semejantes.

Considere la siguiente secuencia (D para artículos defectuosos, N para artículos No-defectuosos) de una cadena de producción: DDDNNDNDNDDD. El número de corridas es R = 7, con n₁ = 8, y n₂ = 4 los cuales son números de D’s y N’s.

Una secuencia es una secuencia aleatoria si, ni es “sobre mezclada” ni es “sub mezclada”. Un ejemplo de la secuencia sobre mezclada es DDDNDNDNDNDD, con R = 9 mientras que una sub mezclada luciría como DDDDDDDDNNNN con R = 2. Allí la secuencia antedicha parece ser una secuencia aleatoria.

Las Pruebas de Corridas, que también se conoce como Prueba de Wald-Wolfowitz, es diseñada para probar la aleatoriedad de una muestra dada a un nivel de confianza de 100(1- a)% Para conducir una Prueba de corridas en una muestra, realice los pasos siguientes:

Paso 1: calcule la media de la muestra.

Paso 2: pasando por la secuencia de la muestra, substituya cualquier observación con +, ó - dependiendo si está por debajo o por arriba de la media. Deseche cualquier lazo.

Paso 3: Calcule R, n₁, y n₂.

Paso 4: calcule la media y la varianza esperada de R, como sigue:

a =1 + 2n₁n₂/(n₁ + n₂).

s² = 2n₁n₂(2n₁n₂-n₁- n₂)/[[n₁ + n₂)² (n₁ + n₂ -1)].

Paso 5: Calcule z = (R-m)/ s.

Paso 6: Conclusión:

Si z > Z_a, entonces debería tener un comportamiento cíclico y con estacionalidad (sub mezclada).

Si z < - Z_a, debería tener una pendiente.

Si z < - Z_a/2, ó z > Z_a/2, rechaza la aleatoriedad.

Nota: Esta prueba es válida para los casos en los cuales n₁ y n₂ son grandes, al menos mayores que 10. Para muestras de pequeñas de tamaños, las tablas especiales deben ser utilizadas.

Por ejemplo, suponga que para una muestra dada de tamaño 50, se tienen R = 24, n₁ = 14 y n₂ = 36. Pruebe para la aleatoriedad en a = 0,05.
Aplicando estos valores a las formulas anteriores se obtiene que a = 16,95, s = 2,473, y z = -2,0. De la tabla Z, tenemos Z = 1,645. Podría existir una pendiente o tendencia, que significa que la muestra no es aleatoria.

A usted podría gustarle utilizar el Javascript para la Prueba de Aleatoriedad.

Prueba de Normalidad

La prueba estándar para la normalidad es el estadístico de Lilliefors. Un histograma y un diagrama normal de la probabilidad también le ayudarán a distinguir entre una salida sistemática de la normalidad cuando este es mostrada como una curva.

La Prueba de Lilliefors para la Normalidad: Esta prueba es un caso especial de la Prueba de Bondad de Ajuste de Kolmogorov-Smirnov, desarrollada para probar la normalidad de la distribución de la población. Al aplicar la prueba de Lilliefors, una comparación es hecha entre la función de distribución acumulativa, normal estándar, y una función muestral de distribución acumulativa con variable aleatoria estandardizada. Si existe un acuerdo cercano entre las dos distribuciones acumulativas, se apoya la hipótesis de que la muestra fue dibujada de la población con una función de distribución normal. Si, sin embargo, existe una discrepancia demasiado grande entre las dos funciones de distribución acumulativas para ser atribuido un solo chance, se rechaza la hipótesis.

La diferencia entre las dos funciones de distribución acumulativas es medida por el estadístico D, el cual es la distancia vertical más grande entre las dos funciones.

A usted podría gustarle utilizar la muy bien conocida Prueba de Normalidad de Lilliefors para determinar la bondad de ajuste.

Introducción a la Estimación

Para estimar medias de valor (dar valor a). Un estimador es cualquier cantidad calculada de los datos de la muestra los cuales se utilizan para obtener información sobre una cantidad desconocida de la población. Por ejemplo, la media muestral es un estimador de la media poblacional m.

Los resultados de un estimador pueden ser expresados como un simple valor; entendido como una estimación en un punto, o un rango de valores, referido como un intervalo de confianza. Siempre que utilicemos la valoración de un punto, calculamos el margen de error asociado a la estimación de ese punto.

Los estimadores de los parámetros de la población son diferenciados a veces de los valores verdaderos mediante el uso del símbolo de “sombrero”. Por ejemplo, la verdadera desviación estándar de la población s se estima de la muestra de la desviación estándar de la población.

De nuevo, el estimador usual de la media poblacional es = Sx_i / n, donde n es el tamaño n de la muestra y x₁, x₂, x₃,.......,x_n son los valores de la muestra. Si el valor del estimador en una muestra particular es 5, entonces 5 es la estimación del µ de la media de la población.

Cualidades de un buen Estimador

Un “buen” estimador, es aquel que provee una estimación con las cualidades siguientes:

Imparcialidad: Una estimación es imparcial con respecto a un parámetro cuando el valor esperado del estimador puede ser expresado como igual al parámetro que ha sido estimado. Por ejemplo, la media de una muestra es una estimación imparcial de la media de la población de la cual la muestra fue obtenida. La imparcialidad es una buena cualidad para una estimación, puesto que, usando el promedio ponderado de varias estimaciones se obtendría una mejor estimación que de cada una de ellas por separado. Por lo tanto, la imparcialidad permite que actualicemos nuestras estimaciones. Por ejemplo, si sus estimaciones de la medias poblacional µ son, digamos 10, y 11,2 con respecto a dos muestras independientes de tamaños 20, y 30 respectivamente, la mejor estimación de la media poblacional µ basada en ambas muestras es [ 20 (10) + 30 (11,2) ] (20 + 30) = 10,75.

Consistencia: La desviación estándar de una estimación es llamada el error estándar de esa estimación. Mientras mas grande es el error estándar existirá más error en su estimación. La desviación estándar de una estimación es un índice comúnmente usado del error exigido al estimar un parámetro de la población basado en la información en una muestra de tamaño n escogida al azar de la población entera.

Un estimador debe ser “consistente” si al aumentar el tamaño de la muestra se produce una estimación con un error estándar más pequeño. Por lo tanto, su estimación es “consistente” con el tamaño de la muestra. Es decir, gastando más dinero para obtener una muestra más grande produzca una mejor estimación.

Eficiencia: Una estimación eficiente es la que tiene el error estándar más pequeño entre todos los estimadores imparciales .

El “mejor” estimador es el que está más cercano al parámetro de la población que es estimado.

The Concept of distance for an estimator
El Concepto de Distancia para un Estimador

La figura anterior ilustra el concepto de la proximidad por medias que tienen como objetivo el centro para la imparcialidad con varianza mínima. Cada tablero de dardos tiene varias muestras:

El primero tiene todos los tiros agrupados firmemente juntos, pero ningunos de ellos golpean el centro. El segundo tiene una extensión mas grande, pero alrededor del centro. El tercero es peor que los primeros dos. Solo el último tiene un grupo apretado alrededor del centro, por lo tanto tiene buena eficacia.

Si un estimador es imparcial, entonces su variabilidad determinará su confiabilidad. Si un perito es extremadamente variable, las estimaciones que produce pueden en promedio no estar tan cerca del parámetro poblacional como lo estaría un estimador parcializado con varianza mas pequeña.

El esquema siguiente representa la calidad de algunos estimadores populares para la media poblacional µ:

El estimador mas común de la media poblacional µ es = Sx_i/n, donde n es el tamaño de la muestral x₁, x₂, x₃,......., x_n son los valores de la muestra que tienen todas las buenas características antedichas. Por lo tanto, es un “buen” estimador.

Si usted desea una estimación de la tendencia central como parámetro de una prueba o para comparación, los tamaños de muestra pequeños son poco probables de rendir cualquier estimación estable. La media es sensible en una distribución simétrica como medida de tendencia central; pero, por ejemplo, con diez casos, usted no podrá juzgar si usted tiene una distribución simétrica. Sin embargo, la estimación de la media es útil si usted está intentando estimar la suma de la población, o alguna otra función del valor esperado de la distribución. ¿Sería la mediana una mejor medida? En algunas distribuciones (por ejemplo, las tallas de camisas) la moda podría ser mejor. BoxPlot indicarán outliers en el conjunto de datos. Si existen outliers, la mediana es mejor que la media para la medida de tendencia central.

A usted podría gustarle usar el JavaScript de Estadística Descriptiva para obtener “buenas” estimaciones.

Estadísticos con Confianza

En la práctica, un intervalo de la confianza se utiliza para expresar la incertidumbre en una cantidad que es estimada. Hay incertidumbre porque las inferencias se basan en una muestra escogida al azar del tamaño finito de una población entera o del proceso de interés. Para juzgar el procedimiento estadístico podemos preguntar qué sucedería si repitiéramos el mismo estudio una y otra vez y que consiguiéramos repetidamente datos diferentes cada vez (y así diversos intervalos de la confianza).

En la mayoría de los estudios, los investigadores están interesados en la determinación del tamaño de las diferencias de un resultado medido entre grupos, en vez de un simple indicativo de es estadísticamente significativo. Los intervalos de la confianza presentan un rango de valores, con base en los datos de la muestra, de los cuales el valor de esta diferencia podría ser mentira.

Sepa que un intervalo de la confianza calculado a partir de una muestra será diferente de un intervalo de la calculado computado de otra muestra.

Entienda la relación entre el tamaño de muestra y la anchura del intervalo de la confianza, por otra parte, sepa que el intervalo de confianza calculado algunas veces no contiene al valor verdadero.

Digámosle que se calcula un intervalo de confianza del 95% para una media m . La manera de interpretar esto es imaginar un número infinito de muestras de la misma población, el 95% de los intervalos calculados contendrán la media m de la población, y a lo máximo el 5% no. Sin embargo, es incorrecto indicar, “tengo el 95% de confianza de la media m de la población esta dentro del intervalo.”

Una vez más la definición usual de un intervalo de confianza del 95% es un intervalo construido por un proceso tal que el intervalo contendrá el valor verdadero el 95% del tiempo. Esto significa que el “95%” es una característica del proceso, no el intervalo.

¿Es la probabilidad de ocurrencia de la media poblacional mayor en el centro del intervalo de la confianza (IC) y mas baja en los límites? ¿La probabilidad de la ocurrencia de la media poblacional en un intervalo de confianza que varía de una manera mensurable del centro a los límites? En un sentido general, se asume la condición de la normalidad, y entonces el intervalo entre los límites del IC es representado por una distribución t acampana. La expectativa (e) de otro valor es la más alta en el valor de la media calculada, y disminuye mientras los valores se acercan a los límites del IC.

Intervalo de la Tolerancia y IC: Una buena aproximación para un simple intervalo de tolerancia es veces el intervalo de confianza con respecto a la media n^½.

Estadísticos con Confianza
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Usted necesita utilizar el Javascript de la Determinación del Tamaño de la Muestra en el diseño de etapas en su investigación estadística en la toma de decisión con requisitos subjetivos específicos.

Una Nota sobre la Comparación Múltiple Vía Intervalos Individuales: Note que, si los intervalos de la confianza a partir de dos muestras no se superponen, existe una diferencia estadística significativa, digamos del 5%. Sin embargo, la otra manera no es verdad; dos intervalos de confianza pueden superponerse incluso cuando hay una diferencia significativa entre ellos.

Como ejemplo numérico, considere las medias de dos muestras independientes. Suponga que sus valores son 10 y 22 con error estándar igual a 4. El intervalo de confianza del 95% para los dos estadísticos (usando el valor crítico de 1,96) es: [ 2,2, 17,8] y [ 14,2, 29,8], respectivamente. Como se observa, estos exhiben una considerable superposición. Sin embargo, el estadístico z para la media de la dos poblaciones es: |22 -10|/(16 + 16) ^½ = 2,12 el cual es claramente significativo bajo las mismas condiciones aplicadas al construir los intervalos de confianza.

Se deberían examinar el intervalo de confianza para la diferencia explícita. Incluso si los intervalos de confianza están superpuestos, es difícil encontrar el nivel exacto de confianza. Sin embargo, la suma de niveles individuales de confianza pueden servir como límite superior. Esto es evidente en el hecho de que: P(A y B) £ P(A) + P(B).

¿Que es el Margen de Error?

La estimación es el proceso mediante el cual los datos de la muestra son utilizados para indicar el valor de una cantidad desconocida en una población.

Los resultados de un estimador pueden ser expresados como un simple valor; entendido como una estimación en un punto, o un rango de valores, referido como un intervalo de confianza.

Siempre que utilicemos la valoración del punto, calculamos el margen de error asociado a esa estimación del punto. Por ejemplo, para la estimación de la proporción de la población, por las medias de una muestra de proporciones (p), el margen del error se calcula a menudo como sigue:

±1,96 [p(1-p)/n]^1/2

En periódicos e informes de televisión sobre encuestas de la opinión pública, el margen del error aparece a menudo en caracteres pequeños en el fondo de una tabla o de una pantalla. Sin embargo, divulgar solamente la cantidad de error, no es bastante informativo por sí mismo, lo que falta es el grado de confianza en los resultados. El pedazo de información mas importante y que falta es el tamaño de la muestra n; Es decir, ¿Cuánta gente participó en la encuesta, 100 o 100000 Para este momento, usted sabe bien que cuanto más grande es el tamaño de muestra más exacto es el resultado, ¿no?.

El margen de error reportado es el margen de “error de muestreo”. Hay muchos errores de no-muestreo que pueden y afectar la exactitud de las encuestas. Aquí hablamos de error de muestreo. El hecho de que subgrupos pudieron tener error de muestreo más grande que el grupo de donde provienen, debería generar la inclusión de la declaración siguiente en el informe:

“Otras fuentes del error incluyen, pero no se limitan a, individuos que rechazan participar en la entrevista, y la inhabilidad de hacer contacto con el número seleccionado. Cada esfuerzo factible fue hecho para obtener una respuesta y reducir el error, pero el lector (o el espectador) debe estar enterado de un cierto error inherente a toda investigación.”

Si usted tiene preguntas de tipo si/ no en un examen, usted probablemente desearía calcular una proporción P de los sí’s (o los no’s). En una encuesta de a una muestra aleatoria simple, la varianza de p es p(1-p)/n, no haciendo caso a la corrección de la población finita, de tamaño n, digamos mayor a 30. Ahora un intervalo de confianza del 95% es:

p – 1,96 [p(1-p)/n]^1/2, p + 1,96 [p(1-p)/n]^1/2.

Un intervalo conservador puede ser calculado, puesto que p(1-p) toma su valor máximo cuando p = 1/2. Substituya 1,96 por 2, ponga p = 1/2 y usted tiene un 95% de intervalo conservativo de confianza de 1/n^1/2. Esta aproximación tiene un buen funcionamiento siempre y cuando p no este muy cerca de 0 o de 1. Esta aproximación útil le permite calcular intervalos aproximados de confianza de 95%.

Para las variables aleatorias continuas, tales como la estimación de la media poblacional m, el margen de error se calcula a menudo como sigue:

±1,96 S/n^1/2.

El margen del error se puede reducir por una o combinación de las siguientes estrategias:

Disminuyendo la confianza en la estimación -- una estrategia indeseable puesto que la confianza se relaciona con la oportunidad de dibujar una conclusión incorrecta (es decir, aumentos del error Tipo II).
Reduciendo la desviación estándar -- algo que no podemos hacer puesto que es generalmente una característica estática de la población.
Aumentando el tamaño de muestra -- esto proporciona más información para una mejor decisión.

A usted podría gustarle usar el JavaScript de Estadística Descriptiva para comprobar sus cálculos, y el Javascript de Determinación del Tamaño de la Muestra en la etapa del diseño de su investigación estadística en la toma de decisión con requisitos subjetivos específicos.

Técnicas de Reducción de Preferencias: Bootstrapping y Jackniffing

Algunas técnicas de estadísticas inferencial no requieren distribución de asunciones sobre la estadística implicada. Estos métodos modernos no paramétricos utilizan cantidades grandes de cálculos para explorar la variabilidad empírica de un estadístico, en vez de hacer asunciones a priori sobre esta variabilidad, como se hace en las pruebas paramétricas tradicionales t y z.

Bootstrapping: Este método se usa con correa se usa para obtener una estimación combinando los estimadores a cada uno de las muchas sub muestras de un conjunto de datos. Normalmente, M muestras aleatoriamente dibujadas de T observaciones son dibujadas de los datos originales de tamaño n con el reemplazo, donde T es menor que n.

El Estimador Jackknife: Este estimador crea una serie de estimaciones de un simple conjunto de datos, generando que el estadístico repetidamente abandone un valor de lo datos cada vez. Esto produce una estimación de la media del parámetro y una desviación estándar de las estimaciones del parámetro.

La simulación de Monte Carlo permite la evaluación del comportamiento de un estadístico cuando su análisis matemático es óptimo. Bootstrapping y Jackniffing permiten que las inferencias sean hechas de la muestra cuando la inferencia paramétrica tradicional falla. Estas técnicas son especialmente útiles para lidiar con problemas estadísticos, tales como un tamaño de muestra muy pequeño, estadísticas sin teoría distribucional bien desarrollada, y de violaciones paramétricas de la condición de la inferencia. Ambas son intensivas en el uso de computadoras. Bootstrapping significa que usted toma muestras repetidas de otras muestras y de allí saca conclusiones sobre una población. Bootstrapping y Jackknife exigen el muestreo-con-reemplazo de una muestra. Jackniffing sistemáticamente envuelve el hacer n pasos, de omitir 1 caso de una muestra a la vez, o, de manera mas general, n/ k pasos de omitir k casos; los cálculos que comparan “incluido” contra “omitidos” pueden ser utilizado (especialmente) para reducir las preferencias de los estimadores. Ambos tienen aplicaciones en reducir las preferencias en las estimaciones.

Re muestreo-- incluyendo Bootstrapping , la permutación, y otras pruebas no paramétricas -- es un método para la prueba de la hipótesis, los límites de confianza, y otros problemas aplicados en estadística y probabilidad. No implica ninguna fórmula o tabla.

Después de la primera publicación de la técnica general (y Bootstrapping) en 1969 de Julian Simon y el desarrollo subsecuente independiente por Bradley Efron, el re muestreo se ha convertido en un acercamiento alternativo para las pruebas de hipótesis.

Existen otros resultados: “Bootstrapping comenzó como buena noción de lo que el presentó, en teoría, un procedimiento estadístico elegante que estaba libre de condiciones distribucionales. La técnica del Bootstrapping no es muy eficiente en la práctica, y los intentos por modificarlo la hacen mas complicada y más confusa que los procedimientos paramétricos al cual estaba supuesto a reemplazar.”

Mientras que las técnicas de re muestreo pueden reducir las preferencias, estas alcanzan esto a expensas de aumento en la varianza. Las dos preocupaciones principales son:

La pérdida en la exactitud de la estimación según lo medido por la varianza puede ser muy grande.
La dimensión de los datos afecta drásticamente la calidad de las muestras y por lo tanto de las estimaciones.

Intervalos de Predicción

En muchos uso de la estadística de negocio, tal como pronóstico, estamos interesados en la construcción de un intervalo estadístico para la variable aleatoria, en vez de un parámetro de una distribución de la población.

La desigualdad del Tchebysheff se utiliza a menudo para poner los límites en la probabilidad que una proporción de la variable aleatoria X estará dentro k > 1 desviación estándar con respecto a la media m para cualquier distribución de probabilidad. En otras palabras:

P [|X - m| ³ k s] £ 1/k², para cualquier k mayor a 1
La propiedad de simetría de la desigualdad de Tchebysheff es útil; por ejemplo, construyendo límites de supervisión en el proceso de control de calidad. Sin embargo, los límites son muy conservadores debido a la carencia del conocimiento sobre la distribución subyacente.
Los límites antedichos pueden ser mejorados (es decir, ser más apretado) si tenemos cierto conocimiento sobre la distribución de la población. Por ejemplo, si la población es homogénea; es decir, su distribución es unimodal; entonces,

P [|X - m| ³ k s] £ 1/(2,25k²), para cualquier k mayor a 1.
La desigualdad anterior se conoce como la desigualdad del Campo-Meidell.
Ahora, deje que X sea una variable aleatoria distribuida normalmente con media estimada y desviación estándar S, entonces el intervalo de la predicción para la media muestral con 100(1- a)% nivel de confianza confidencees:

± t_a/2 ´ S ´ (1+1/n)^1/2.

Este es el rango de una variable aleatoria con 100(1- a)% de confianza , usando la tabla t. Descansando en la Condición de Normalidad para predicciones del intervalo de la media muestral, requiere una muestra de gran tamaño, digamos n mayor 30.

¿Que es un Error Estándar?

Para la inferencia estadística, digamos una prueba estadística y de estimación, se necesita estimar los parámetros de la población. La estimación implica la determinación, con un error posible debido al muestreo, del valor desconocido de un parámetro de la población, tal como la proporción que tiene una cualidad específica o el valor medio m de una cierta medida numérica. Para expresar la exactitud de las estimaciones de las características de la población, se debe también calcular los errores estándar de las estimaciones. Éstas son las medidas de exactitud que determinan los errores posibles que se presentan del hecho de que las estimaciones están basadas en muestras escogidas al azar de la población entera, y no en un censo completo de la población.

El error estándar es un estadístico que indica la exactitud de una estimación. Es decir, nos dice cuan diferente la estimación (como ) es del parámetro de la población (como m). Por lo tanto, esta es la desviación estándar de una distribución muestral para un estimador como . Los siguientes son una colección de errores estándar para la extensamente usada estadística:

Error Estándar para la Media is: S/n^½.
Como cualquiera esperaría, el error estándar disminuye mientras que el tamaño de la muestra aumenta. Sin embargo la desviación estándar de la estimación disminuye por un factor del n^½ no n. Por ejemplo, si usted desea reducir el error en 50%, el tamaño de la muestra debe ser 4 veces n, lo cual es costoso. Por lo tanto, como alternativa a incrementar el tamaño de la muestra, se puede reducir el error obteniendo los datos de “calidad” el cual proporciona una estimación más exacta.
Para una población finita de tamaño N, el error estándar de la media muestral de tamaño n, es:
S ´ [(N -n)/(nN)]^½.
El Error Estándar para la multiplicación de dos Medias independientes ₁ ´ ₂ es:
{₁ S₂²/n₂ + ₂ S₁²/n₁}^½.
El Error Estándar para dos medias Dependientes ₁ ± ₂ es:
{S₁²/n₁ + S₂²/n₂ + 2 r ´ [(S₁²/n₁)(S₂²/n₂)]^½}^½.
El Error Estándar para la Proporción P es:
[P(1-P)/n]^½
El Error Estándar para P₁ ± P₂, dos Proporciones dependientes es:
{[P₁ + P₂ - (P₁-P₂)²] / n}^½.
El Error Estándar de la Proporción (P) de población finita es:
[P(1-P)(N -n)/(nN)]^½.
Las dos fórmulas para poblaciones finitas, normalmente se utilizan cuando se desea comparar una sub-muestra de tamaño n con una muestra más grande del tamaño N, el cual contiene la sub-muestra. En tal comparación, sería incorrecto tratar las dos muestras “como si” existieran dos muestras independientes. Por ejemplo, comparando las dos medias uno puede utilizar el estadístico t pero junto a el error de estándar:
S_N [(N -n)/(nN)]^½
como su denominador. Un tratamiento similar es necesario para proporciones.
El Error Estándar de la pendiente (m) en la Regresión Lineal es:
S_res / S_xx^½, donde S_res es el residuo de la desviación estándar.
El Error Estándar de la Intercepción (b) en la Regresión Lineal es:
S_res[(S_xx + n ´ ²) /(n ´ S_xx] ^½.
El Error Estándar del Valor Estimado usando la Regresión Lineal es:
S_y(1 - r²)^½.
El termino (1 - r²)^½ es llamado el coeficiente de alineación. Por lo tanto si r = 0, el error de la predicción es S_y como se esperaba.
El Error Estándar de la Regresión Lineal es:
S_y (1 - r²)^½.
Observe que si r = 0, el error estándar alcanza su valor máximo posible, que es la desviación estándar en Y.

Estabilidad de un Estimador: Un estimador es estable si, tomando dos diversas muestras del mismo tamaño, producen dos estimaciones que tienen “pequeñas” diferencia absoluta. La estabilidad de un estimador es medida por su confiabilidad:

Confiabilidad de un estimador = 1/(su error estándar) ²

Cuanto más grande es el error de estándar, menos confiable es la estimación. La confiabilidad de estimadores se utiliza a menudo para seleccionar el “mejor” estimador entre todos los estimadores imparciales.

Determinación del Tamaño de la Muestra

En la etapa de planeamiento de una investigación estadística, la pregunta sobre el tamaño de la muestra (n) es crítica. Esto es una cuestión importante que NO se debe tomar a la ligera. Tomar una muestra más grande que lo necesario para alcanzar los resultados deseados es derrochar los recursos, mientras que las muestras muy pequeñas conducen a menudo a ningún uso práctico para tomar buenas decisiones. El objetivo principal es obtener tanto una exactitud deseable y un nivel deseable de la confianza con mínimos costos.

Estudiantes algunas veces me preguntan, ¿Qué fracción de la población usted necesita para una buena estimación? Yo contesto, “esto es irrelevante; la exactitud es determinada por el tamaño de la muestra.” Esta respuesta tiene que ser modificada si la muestra es una fracción importante de la población.

El nivel de la confianza de las conclusiones dibujadas de un sistema de datos depende del tamaño de los datos. Cuanto más grande es la muestra, más alta es la confianza asociada. Sin embargo, muestras más grandes también requieren más esfuerzo y recursos. De esta forma, su objetivo debe ser encontrar el tamaño de muestra más pequeño que proporcionará la confianza deseable.

Para un artículo anotado 0 o 1, para no o sí, el error estándar (EE) de la proporción estimada p, basado en sus observaciones de la muestra aleatoria, se ubica cerca de:

EE = [p(1-p)/n]^1/2

donde p es la proporción de obtener una cuenta de 1, y n es el tamaño de muestra. Este EE es la desviación estándar del rango de los valores posibles de la estimación.

El EE está en su máximo cuando p = 0,5, por lo tanto el peor escenario del caso ocurre cuando los 50% son sí, y los 50% son no.

Bajo esta condición extrema, el tamaño de muestra, n, se puede entonces expresar como el número entero más grande menor que o igual a:

n = 0,25/EE²

Para tener cierta noción del tamaño de la muestra, por ejemplo para que el EE sea 0,01 (es decir el 1%), un tamaño de muestra de 2500 será necesario; el 2%, 625; el 3%, 278; el 4%, 156, el 5%, 100.

Nota, incidentalmente, mientras la muestra sea una fracción pequeña de la población total, el tamaño real de la población es enteramente irrelevante para los propósitos de este cálculo.

Estudios Experimentales (Pilotos): Cuando las estimaciones necesarias para el cálculo del tamaño de muestra no están disponibles en una base de datos existente, un estudio experimental es necesario para una adecuada estimación con una precisión dada. Una muestra piloto, o preliminar, debe ser dibujado de la población, y los estadísticos calculados de esta muestra se utilizan en la determinación del tamaño de muestra. Las observaciones usadas en la muestra experimental se pueden contar como parte de la muestra final, de modo que el tamaño de muestra calculada menos el tamaño de muestra experimental es el número de observaciones necesarias para satisfacer el tamaño de muestra requerido.

Tamaño de muestra con la precisión absoluta aceptable: La siguiente presenta el método mas usado para determinar el tamaño de muestra requerido para estimar la media y la proporción de la población.

Supongamos que deseamos un intervalo que extienda en d unidades en cualquier lado del estimador. Podemos escribir

d = Precisión Absoluta = (coeficiente de confiabilidad) ´ (error estándar) = Z_a/2 ´ (S/n^1/2)

Suponga, basado en una muestra experimental de tamaño n, la proporción estimada es p, el tamaño requerido de la muestra con el tamaño absoluto de error que no excede d, con 1- a de confianza:

[t² n p(1-p)] / [t² p(1-p) - d² (n-1)],

donde t = t _a/2 siendo el valor tomado de la tabla t con parámetros gl= n = n-1, respectivamente al intervalo de confianza deseado 1- a.

Para muestras pilotos grandes (n mayor a 30), la manera mas simple de determinar el tamaño de la muestral es:

[(Z_a/2)² S²] / d² para la media m

[(Z_a/2)² p(1-p)] / d² para la proporción,

donde d es el margen deseable de error (es decir, el error absoluto), que es la mitad del intervalo de confianza con 100(1- a)%.

Tamaño de Muestra con Errores Tipo I y Tipo II Aceptables: Se puede utilizar el siguiente tamaño de muestra determinado, el cual se basa en el tamaño del error tipo I y error tipo II:

2(Z_a/2 + Z_b/2)²S²/d²,

de donde a and b son los errores aceptables tipo I y tipo II, respectivamente. S² es la variación obtenida de la corrida piloto, y d es la diferencia entre la nula y la alternativa (m₀ -m_a).

Tamaño de Muestra con Precisión Relativamente Aceptable: Se puede utilizar el siguiente tamaño de muestra determinado para un error relativo deseable D en %, el cual requiere una estimación del coeficiente de variación (CV en %) de una muestra experimental con tamaño mayor a 30:

[(Z_a/2)² (C.V.)²] / D²

Tamaño de Muestra Basado en la Hipótesis Nula y la Alternativa: Se puede utilizar el poder de la prueba para determinar el tamaño de la muestra. La relación funcional de la capacidad y del tamaño de la muestra se conoce como la curva característica de funcionamiento. En esta curva, cuando el tamaño de la muestra aumenta, la función de capacidad aumenta rápidamente. Dejemos que d sea:

m_a = m₀ + d

tal que es un alternativa para representar la salida desde la hipótesis nula. Deseamos ser razonablemente confidentes de encontrar evidencia contra la hipótesis nula, si, el hecho particular de la alternativa se mantiene. Es decir, el error tipo b, es la probabilidad de fallar por no poder encontrar evidencia de por lo menos en el nivel de a, cuando la alternativa se mantiene. Esto implica:

Tamaño de la muestra requerido= (z₁ + z₂) S²/ d²

De donde: z₁ = |media - m₀|/ EE, z₂ = |media - m_a|/ EE, la media es la estimación actual para m, y S lo es para s.

Todos los determinantes anteriores del tamaño de la muestra se podrían también utilizar para estimar la media de cualquier población unimodal, con variables aleatorias discretas o continuas, con una corrida piloto de n mayor a 30.

En la estimación del tamaño de la muestra, cuando la desviación estándar no se conoce, en vez de usar S² se puede utilizar 1/4 del rango del tamaño de la muestra mayor a 30 como una “buena” estimación para la desviación estándar. Esta es una buena práctica comparar los resultados con IQR/1,349.

Se podría extender la determinación del tamaño de la muestra a otra estadístico útil, tal como el coeficiente de correlación (r)basado en errores aceptables tipo I y tipo II:

2 + [(Z_a/2 + Z_b/2( 1- r²) ^½)/r] ²

el r proporcionado no es igual a -1, 0, o 1.

El atino de aplicar cualquiera de determinantes para el tamaño de muestra anteriormente expuestos, está en mejorar sus estimaciones pilotos a costes factibles.

A usted podía gustarle utilizar el Javascript de Determinación del Tamaño de Muestra para comprobar sus cálculos.

Revisando el Valor Esperado y la Varianza

Varianzas Promediadas: ¿Cuál es la varianza media de k varianzas sin tomar en consideración el tamaño de sus muestras? La respuesta es simple:

Promedio de las Varianzas = [SS_i²] / k

Sin embargo, ¿Cuál es la varianza de todos los grupos de k combinados? La respuesta debe considerar el tamaño de la muestra n_i del iesimo grupo:

Grupo de Varianzas Combinadas = S n_i[S_i² + d_i²]/N,

donde d_i = media_i - gran media, y N = S n_i, para todas las i = 1, 2, .., k.

Note que la fórmula anterior permite que dividamos la varianza total en sus dos componentes. Este proceso nos permite determinar el grado al cual la varianza total es afectada por la diferencia entre las medias del grupo. ¿Cuál sería la variación si todos los grupos tienen la misma media? ANOVA es una aplicación ampliamente conocida de este concepto donde la igualdad de varias medias se prueba.

Media Subjetiva y Varianza: En muchas aplicaciones, hemos visto cómo tomar decisiones basadas en datos objetivos; sin embargo, un tomador de decisiones podría tener la capacidad de combinar su interpretación subjetiva y usar las dos fuentes de información.

Una aplicación: Suponga que la siguiente información se encuentra disponible a partir de dos fuentes independientes:

Revisando el Valor Esperado y la Varianza
Fuente de Estimación	Valor Esperado	Varianza
Gerente de Ventas	m₁ = 110	s₁² = 100
Estudio de Mercado	m₂ = 70	s₂² = 49

El valor esperado combinado es:

[m₁/s₁² + m₂/s₂² ] / [1/s₁² + 1/s₂²]

La varianza combinada es:

2 / [1/s₁² + 1/s₂²]

Para nuestra aplicación, usando la información tabular anterior, la estimación combinada de las ventas es 83,15 unidades con una varianza combinada de 65,77.

A usted podía gustarle utilizar el Javascript de Revisando el Valor Esperado y la Varianza en la ejecución de ciertas experimentaciones numéricas. Usted podía aplicarla para validar el ejemplo anterior y para una comprensión más profunda del concepto de donde más de dos fuentes de información van a ser combinadas.

Evaluación Subjetiva de varias Estimaciones basadas en Relativa Precisión

En muchos casos, desearíamos comparar varias estimaciones del mismo parámetro. El acercamiento más simple es medir la mas cercana entre todas las estimaciones en un intento de determinarse que por lo menos una de las estimaciones es mayor a r veces el parámetro de distancia al otro parámetro, donde r es un número subjetivo, no negativo menor que uno.

A usted podía gustarle utilizar el Javascript de Evaluación Subjetiva de Estimaciones para aislar cualquier estimación inexacta. Repitiendo el mismo proceso usted podría eliminar las estimaciones inexactas

Inferencia Estadística Bayesiana: Una Introducción

La inferencia estadística describe los procedimientos mediante los cuales nosotros observamos los datos, de forma tal de establecer conclusiones acerca de una población de la cual los datos han sido obtenidos o con respecto al proceso mediante el cual los datos fueron generados. Nosotros asumimos que existe un proceso desconocido que genera los datos que tenemos y que este proceso puede ser descrito mediante una probabilidad de distribución, la cual, en etapas, puede ser caracterizada por algunos parámetros desconocidos. Por lo tanto, para una distribución normal los parámetros desconocidos son m y s².

En términos mas generales, la inferencia estadística puede ser clasificada bajo dos encabezados: La inferencia Clásica y la Inferencia Bayesiana. La inferencia estadística clásica se basa en dos premisas:

La muestra de datos constituye la única información relevante.
La construcción y la evaluación de los diferentes procedimientos para la inferencia están basados en comportamientos a largo plazo bajo circunstancias esencialmente similares.

En la Inferencia Bayesiana se combina la información de la muestra con la información previa. Supongamos que tenemos una muestra aleatoria x1, x2,....xn de tamaño n de una población normal.

En la inferencia estadística tomamos la media muestral como nuestra estimación de m. Su varianza es s² / n. La inversa de esta varianza es conocida como la precisión muestral. Por lo tanto, esta precisión es n / s².

En la inferencia Bayesiana tenemos información previa de m. Esto es expresado en términos de una funcionde de distribución de probabilidad conocida como distribución previa. Suponga que dicha distribución previa es normal con media m₀ y varianza s₀², esto es, precisión 1/ s₀² . Ahora sabemos combinar la información de la muestra para obtener lo que es conocido como la distribución posterior de µ. Esta distribución puede ser mostrada como una normal. Esto significa que es un average ponderado de la media muestral y la media anterior, ponderada por la precisión de la muestra y la precisión anterior respectivamente, por lo tanto

Media Posterior = (W₁ + W₂ m₀) / (W₁ + W₂)

Varianza Posterior = 1 / (W₁ + W₂)

de donde

W1 = Precisión Muestral = n/S², y W1 = Precisión Previa = n/s₀²

Adicionalmente, la precisión (o el inverso de la varianza) de la distribución posterior de m es W₁ + W₂, el cual es, la suma de la precisión muestral y la precisión previa.

La media posterior descansará entre la media muestral y la media previa. La varianza media posterior será menor que ambas, la varianza muetral y previa.

En este sitio Web no se discute la inferencia Bayesiana por que esto nos adentraría a muchos mas detalles de los que intentamos cubrir. Sin embargo, la noción básica de combinar la media muestral y la media previa en proporción inversa a sus varianzas respectivas, será interesante mientras proporcione algún uso útil.

A usted podría gustarle utilizar el JavaScript de Inferencia Estadística Bayesiana para comprobar sus cálculos y para realizar algunas experimentaciones.

Gerencia del Riesgo de los Productores y el Riesgo de los Consumidores

La lógica detrás de una prueba de hipótesis estadística es similar a la lógica siguiente. Dibuje dos líneas en un papel y determínese si están tienen diferentes longitudes. Compárelas y diga, “bueno, ciertamente no son iguales”. Por lo tanto ellas tienen que ser de longitudes diferentes. Rechazando igualdad, es decir, la hipótesis nula, usted afirma que hay una diferencia.

La potencia de la prueba estadística es mejor explicada mediante la descripción de los errores Tipo I y Tipo II. La matriz siguiente demuestra la representación básica de estos errores.

Según lo indicado en la matriz anterior, un Error Tipo I ocurre cuando, basado en sus datos, usted rechaza la hipótesis nula cuando de hecho es verdad. La probabilidad de un error Tipo I es el nivel de la significancia de la prueba de la hipótesis y es denotada por a .

El error Tipo I es llamado a menudo el riesgo del productor de que los consumidores rechazan un buen producto o servicio indicado por la hipótesis nula. Es decir, un productor introduce un buen producto en el mercado, y de esta forma, él o ella toma el riesgo de que el consumidor lo rechazará.

Un error Tipo II ocurre cuando usted no rechaza la hipótesis nula y está es de hecho falsa. La probabilidad de un error Tipo II se denotada por b . La cantidad 1 - b se conoce como la Potencia o capacidad de una prueba. Un error Tipo II se puede evaluar para cualquier hipótesis alternativa específica, indicada mediante la forma “no igual” como la hipótesis competitiva.

El error Tipo II es a menudo llamado el riesgo del consumidor de no rechazar un producto o servicio posiblemente malo indicado por la hipótesis nula.

Los estudiantes a menudo fórmulas preguntas tales como ¿cuáles son los intervalos de confianza “correctos”, y porqué la mayoría de la gente utiliza el nivel de 95%? La respuesta es que los tomadores de decisiones deben considerar ambos errores Tipo I y Tipo II y obtener la mejor compensación posible. Idealmente, se desea reducir la probabilidad de hacer estos tipos de errores; sin embargo, para un tamaño de muestra fijo, no podemos reducir un tipo de error sin que al mismo tiempo estemos aumentando la probabilidad del otro tipo de error. No obstante, reducir las probabilidades de ambos tipos de errores es simultáneamente aumentar el tamaño de la muestra. Es decir, teniendo más información se toman mejores decisiones.

El siguiente ejemplo destaca este concepto. Una firma de componentes electrónicos, Big Z, fabrica y vende una pieza a un fabricante de radio, Big Y. Big Z mantiene constantemente un porcentaje de piezas defectuosas de el 10% por cada 1000 unidades producidas. Aquí Big Z es el productor y Big Y es el consumidor. Big Y, por razones del sentido práctico, probará una muestra de 10 piezas de1000 lotes. Big Y adoptará una de las dos reglas con respecto a la aceptación de una proposición:

Regla 1: Aceptar lotes con una o menos piezas defectuosas; Por lo tanto, el lote cuanto mucho tiene 0 o 1 defectuosa.
Regla 2: Aceptar los lotes con dos o menos piezas defectuosas; Por lo tanto, el lote cuanto mucho tiene 0, 1 o 2 defectuosas.

Con base en la distribución binomial, la P(0 o 1) es 0,7367. Esto significa que, con un índice defectuoso del 10%, Big Y aceptará el 74% de las unidades probadas y rechazará el 26% de las mismas, sin importar que los lotes sean buenos. Este 26% es el riesgo del productor o el nivel a . Este nivel a es análogo a un error Tipo I -- rechazar una hipótesis nula verdadera. O, en otras palabras, rechazando un buen lote. En este ejemplo, para propósitos de ilustración, los lotes representan una hipótesis nula. La porción rechazada va de nuevo al productor; por lo tanto, es el riesgo del productor. Si Big Y tomara la regla 2, el riesgo del productor disminuiría. La P(0, o 1, o 2) es 0,9298 por lo tanto, Big Y aceptará el 93% de todas las porciones probadas, y el 7% serán rechazadas, aunque la porción sea aceptable. La razón principal es que, aunque la probabilidad de artículos defectuosos es 10%, Big Y a través de la regla 2 permite una tasa de aceptación de artículos defectuosos más alta. Según lo indicado anteriormente, Big Y aumenta su propio riesgo (riesgo del consumidor) como se asumio previamente.

Tomando una Buena Decisión: Dado que existe un beneficio importante (que podría ser negativo) para el resultado de su decisión, y una probabilidad previa (antes de probar) para que la hipótesis nula sea verdad, el objetivo es tomar una buena decisión. Denotemos los beneficios para cada célula en la tabla de decisión como $a, $b, $c y $d (en el orden de las columnas), respectivamente. La expectativa del beneficio es [aa + (1-a)b], y + [(1-b)c + bd], dependiendo de que si la hipótesis nula es verdadera.

Ahora teniendo una probabilidad subjetiva previa (es decir, antes de probar) de p de que la hipótesis nula es verdadera, el beneficio previsto de su decisión es:

Beneficio Neto = [aa + (1-a)b]p + [(1-b)c + bd](1-p) – Costos de Muestreo

Una buena decisión hace este beneficio tan grande como sea posible. Con este fin, debemos elegir convenientemente el tamaño de la muestra y el resto de los factores de la función de beneficio.

Observe que, puesto que estamos utilizando una probabilidad subjetiva que expresa la fuerza de la creencia de la verdad de la hipótesis nula, esta es llamada una Aproximación Bayesiana a la toma de decisiones estadísticas, que es un acercamiento estándar en teoría de decisiones.

A usted podía gustarle utilizar el JavaScript de Subjetividad en las Pruebas de Hipótesis en Javascript en la ejecución de una ciertas experimentación numéricas para validar los resultados anteriores y obtener una comprensión más profunda.

Prueba de Hipótesis: Rechazando una Proposición

Para realizar una prueba de hipótesis, se debe ser muy específico sobre la prueba que se desea realizarse. La hipótesis nula debe ser indicada claramente, y los datos se deben recoger de una manera repetible. Si existe alguna subjetividad, los resultados son técnicamente inválidos. Todos los análisis, incluyendo el tamaño de la muestra, nivel de significancia, el tiempo, y el presupuesto, se deben planear por adelantado, o bien el usuario corre el riesgo de “datos sumergidos.”

La prueba de hipótesis es una prueba matemática por contradicción. Por ejemplo, para la prueba t de student la cual compara a dos grupos, asumimos que los dos grupos vienen de la misma población (las mismas medias, desviaciones estándar, y en general las mismas distribuciones). Entonces hacemos nuestro mejor para probar que esta asunción es falsa. Rechazar H₀ significa que, o H₀ es falso, o un acontecimiento raro ha ocurrido.

La pregunta verdadera en estadística no es saber si una hipótesis nula está correcta, es saber si está bastante cercana ser utilizada como aproximación.

Prueba de Hipótesis
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En la mayoría de las pruebas estadísticas referentes a m, comenzamos asumiendo que s², y los momentos más altos, tales como oblicuidad y kurtosis, son iguales. Luego, inferimos que las a's son iguales, lo que es la hipótesis nula.

Lo “nulo” normalmente sugiere ninguna diferencia entre las medias del grupo, o ninguna relación entre las variables cuantitativas, etcétera.

Consecuentemente probamos con un valor t calculado. Por simplicidad, suponga que tenemos una prueba de dos lados. Si el t calculado está cerca de 0, decimos que “es bueno”, como esperamos. Si el t calculado está lejos de 0, decimos, “la ocasión de conseguir este valor t, dado mi asunción de que las poblaciones son estadísticamente iguales, es tan pequeña que no creería la asunción. Diremos que las poblaciones no son iguales; las medias no son específicamente iguales.”

Como ejemplo, hagamos un esquema con una distribución normal de media 1 - 2 y desviación estándar s. Si la hipótesis nula es verdadera, la media es 0. Calculamos el valor de ' t ', según la ecuación. Buscamos un valor “crítico” de t. La probabilidad de calcular un valor de t más extremo (+ o -) que esto, dado que la hipótesis nula es verdad, es igual o menor que el riesgo a que utilizamos para obtener el valor crítico de la tabla. Marque el t calculado, y el t crítico (ambos lados) en el esquema de la distribución. Ahora, si el t calculado es más extremo que el valor crítico, decimos, “el chance de conseguir este valor t, por la ocasión de descartar, cuando la hipótesis nula es verdadera, es tan pequeña que preferiríamos decir que la hipótesis nula es falsa, y aceptar el alternativa, de que las medias no son iguales”. Cuando el valor estimado es menos extremo que el valor calculado, decimos, “podría conseguir este valor de t por el chance de descarte. No puedo detectar una diferencia en las medias de los dos grupos en un nivel a de significancia.”

En esta prueba, necesitamos (entre otras) la condición de que las varianzas poblacionales (es decir, el tratamiento afecta la tendencia central pero no la variabilidad) son iguales. Sin embargo, esta prueba es rígida a las violaciones de esa condición si las n’s son grandes y casi del mismo tamaño. Un ejemplo contrario sería intentar una prueba t entre (11, 12, 13) y (20, 30, 40). La prueba de valores agrupados y no agrupados da un estadístico t de 3,10, pero los grados de libertad son diferentes: gl. = 4 (para los agrupados) o gl cerca de 2 (para los no agrupados). Por lo tanto la prueba reunida da p = 0,036 y la no agrupada p = 0,088. Podríamos bajar a n = 2 y todavía conseguir algo más extremo.

A usted podía gustarle utilizar Cálculo Estadístico en Línea, Probando la Media , y Probando la Varianza en la ejecución de más de estas pruebas.

Usted podría necesitar utilizar el Javascript de la Determinación del Tamaño de la Muestra en la etapa de diseño de su investigación estadística en la toma de decisión con requisitos subjetivos específicos.

Acercamiento Clásico a la Prueba de Hipótesis

En este tratamiento existen dos lados: Un lado (o una persona) propone la hipótesis nula (la proposición). El otro lado propone una hipótesis alternativa. Un nivel de significancia a y un tamaño de muestra n son convenidos por ambas partes. El paso siguiente es calcular los estadísticos relevante basados en la hipótesis nula y la muestra escogida al azar de tamaño n. Finalmente, se determina la región del rechazo. La conclusión basada en este acercamiento es:

Si el estadístico calculado cae dentro de la región del rechazo, entonces se rechaza la hipótesis nula; si esto no ocurre esto, No rechace la hipótesis nula (la proposición)..

Usted podría preguntarse: ¿Cómo determinar el valor crítico (por ejemplo valor z) para el intervalo del rechazo en una hipótesis de una y dos colas?. ¿Cuál es la regla?

Primero, usted tiene que elegir un nivel de significación a. Sabiendo que la hipótesis nula siempre esta en la forma de “igualdad”, la hipótesis alternativa tiene una de las tres formas posibles: “mayor que”, “menor que”, o “no igual a”. Las primeras dos formas corresponden a una hipótesis de una cola, mientras que la tercera corresponde a una hipótesis de dos colas.

Si su alternativa está en la forma “mayor que”, entonces z es el valor que le da un área en la cola derecha de la distribución, el cual es igual a a.
Si su alternativa está en la forma “menor que”, entonces z es el valor que le da un área en la cola izquierda de la distribución, el cual es igual a a.
Si su alternativa está en la forma de “no igual a”, entonces hay dos valores de z, un positivo y otro negativo. El z positivo es el valor que le da un área de a/2 en la cola derecha de la distribución. Mientras que, el z negativo es el valor que le da un área a/2 en la cola izquierda de la distribución.

La regla anterior puede ser generalizada e implementada para determinar el valor crítico de cualquier prueba de hipótesis, usted debe primero dominar la lectura de las tablas estadísticas, porque, como usted ve, no todas las tablas en su libro de textos se presentan en el mismo formato.

Significado e Interpretación de los Valores P (¿Qué Dicen los Datos?)

El valor p depende directamente de ensayos muestrales para proporcionar una medida de fuerza de los resultados en una prueba para la hipótesis nula, en contraste con un rechazo simple o no rechazo en el acercamiento clásico a la prueba de hipótesis. Si la hipótesis nula es verdadera, y si el chance de una variación aleatoria es la única razón de las diferencias muestrales, entonces el valor p es una medida cuantitativa de sustentar como evidencia a un proceso de toma de decisión. La tabla siguiente proporciona una interpretación razonable de los valores p:

Valor P	Interpretación Interpretation
P < 0,01	Fuerte evidencia contra H₀
0,01£ P < 0,05	Moderada evidencia contra H₀
0,05 £ P < 0,10	Evidencia sugestiva contra H₀
0,10 £ P	Poca o no evidencias reales contra H₀

Esta interpretación es ampliamente aceptada, y muchos diarios científicos publican rutinariamente investigaciones usando esta interpretación para el resultado de una prueba de la hipótesis.

Para una muestra de tamaño fijo, cuando el número de realizaciones se decide por adelantado, la distribución de p es uniforme, asumiendo que la hipótesis nula es verdadera. Expresaríamos esto como P(p £ x) = x. Eso significa que el criterio de p £ 0,05 alcanza a a of 0,05.

Entienda que la distribución de los valores de p bajo la hipótesis nula H₀ es uniforme, y por lo tanto no depende de una forma particular de prueba estadística. En una prueba estadística de la hipótesis, el valor de P es la probabilidad de observar una prueba estadística por lo menos tan extrema como el valor realmente observado, si se asume que la hipótesis nula es verdad. El valor de p es definido con respecto a una distribución. Por lo tanto, podríamos llamarlo “hipótesis de modelo- distribución" en vez de “la hipótesis nula”.

En corto, esto simplemente significa que si la nula había sido verdadera, el valor p es la probabilidad contra la nula en ese caso. El valor p es determinado por el valor observado; sin embargo, esto hace difícil incluso para medir el inverso de p.

Finalmente, puesto que los valores p son variables aleatorias, no se puede comparar varios valores p para ninguna conclusión estadística (ni obtenerla). Esto es un error común que mucha gente comete, por lo tanto, la tabla anterior no es para tal comparación.

Usted podría necesitar utilizar Valores P para la Distribución de la Población en Javascript.

Combinando el Acercamiento Clásico y el Valor P en la Prueba de Hipótesis

Un valor p es una medida de cuánta evidencia se tiene en contra de la hipótesis nula. Note que la hipótesis nula está siempre en la forma =, y no contiene ninguna forma de desigualdad. Cuanto más pequeño es el valor p, es más la evidencia que se tiene. En este contexto, el valor p se basa en la hipótesis nula y no tiene nada hacer con una hipótesis alternativa y por lo tanto con la región del rechazo. En años recientes, algunos autores han tratado de utilizar una la mezcla del acercamiento clásico y valor p. Este se basa en el valor crítico obtenido de un a dado, del estadístico calculado y del valor p. Esta es una mezcla de dos diversas escuelas del pensamiento. En este ajuste, algunos libros de textos comparan el valor p con el nivel de significancia para tomar decisiones en una prueba de hipótesis dada. Cuanto más grande valor p es en comparación con a (en hipótesis alternativa unilateral, y a/2 para las hipótesis alternativas con dos lados), menor la evidencia que se tendrá para rechazar la hipótesis nula. En tal comparación, si el valor p es menor que un cierto umbral (generalmente 0,05, a veces un pedacito más grande como 0,1 o un pedacito más pequeño como 0,01) entonces se rechaza la hipótesis nula. El siguiente argumento esta envuelto en un acercamiento combinado.

Uso del valor P y de a: En este ajuste, debemos también considerar la hipótesis alternativa al dibujar la región de rechazamiento. Existe solamente un valor p para comparar con a (ó a/2). Sepa que, para cualquier prueba de hipótesis, existe solamente un valor p. Los siguientes, son lineamientos para calcular el valor p y el proceso de decisión envuelto en una prueba de hipótesis dada:

Valor P para hipótesis alternativa unilaterales: El valor p se define como el área bajo la cola derecha de la distribución, si la región de rechazamiento esta dentro en la cola derecha; si la región de rechazamiento está en la cola izquierda, entonces el valor p es el área bajo la cola izquierda (en hipótesis alternativas unilaterales).
Valor P para hipótesis alternativas de dos lados: Si la hipótesis alternativa es con dos lados (es decir, la región de rechazo están tanto en la cola izquierda y en la cola derecha), entonces el valor p es el área bajo la cola derecha o la cola izquierda de la distribución, dependiendo de si el estadístico calculado está más cerca de la región derecha de rechazo o la región izquierda de rechazo.
Para densidades simétricas (tales como la densidad t), los valores p en el lado izquierdo y derecho de las colas son iguales. Sin embargo, para las densidades no simétricas (tales como Chi-cuadrado) se utiliza el más pequeño de los dos. Esto hace la prueba más conservadora. Note que, para las hipótesis alternativas de dos lados, el valor p nunca es mayor que 0,5.
Después de encontrar el valor p según como se ha definido aquí, compare con el valor a preestablecido para pruebas unilaterales, y con a/2 para pruebas de dos colas. Cuanto más grande es el valor p en comparación con a (en hipótesis alternativa unilateral, y a/2 para las hipótesis alternativas con dos lados), menor será la evidencia que tenemos para rechazar la hipótesis nula.

Para evitar obtener los valores p de tablas estadísticas limitadas dadas en su libro de textos, los paquetes estadísticos profesionales tales como SAS y SPSS proporcionan el valor p de dos colas. Basado en donde se encuentre la región de rechazamiento, se debe descubrir qué valor p utilizar.

Algunos libros de textos tienen muchas afirmaciones engañosas sobre el valor p y sus usos. Por ejemplo, en muchos libros de textos usted encuentra a autores que doblan el valor de p para compararlo con a cuando se trabaja con prueba de hipótesis con dos colas. Quizás se pregunte cómo se hace en el caso cuando “su” valor p excede 0,5. Note eso, mientras es correcto comparar el valor p con a para las pruebas de hipótesis unilaterales a, para la prueba de hipótesis con dos lados, se debe comparar el valor p con a/2, NO a con 2 veces el valor p, como algunos libros de textos aconsejan. Mientras que la decisión es la misma, existe una distinción clara aquí y una diferencia importante que el lector cuidadoso observar.

¿Cómo fijar el un valor apropiado a ?a value? Usted podría preguntarse porqué el a = 0,05 es tan popular en la prueba de hipótesis. a = 0,05 es tradicional para las pruebas, pero es arbitrario en su origen como sugirió R.A. Fisher, el cual dijo que en el espíritu de 0,05 siendo el valor mas grande del valor p el cual uno pensaría quizá la hipótesis nula en un experimento estadístico debería ser considerada falsa. Esto era también una sustitución entre “error tipo I” y el “error tipo II” ; que no deseamos aceptar la hipótesis nula incorrecta, pero tampoco queremos fracasar al rechazar la hipótesis nula. Como nota final, el promedio de estos dos valores p se llama a menudo el valor p medio.

Conversiones de Probabilidades de Dos Colas a la Probabilidad Unilateral: Deje que C sea la probabilidad para un intervalo de confianza de dos lados (IC) construido para una estimación. La probabilidad (C₁) de que la estimación sea o mayor que el límite más bajo o de que sea menor que el límite mas alto puede ser calculada usando:

C₁ = C/2 + 1/2, para la conversion a unilateral

Ejemplo numérico: Suponga que desea convertir un C = 90% con IC de dos lados aspectos a unilateral C₁ = 0,90/2 + 1/2 = 95%.

Usted podría necesitar el Javascript Determinación del Tamaño de Muestra en la etapa del diseño de su investigación estadística en la toma de decisión con requisitos subjetivos específicos.

Método de Bonferroni para el procedimiento de Múltiples valores de P

Se podrían combinar pruebas t usando el método de Bonferroni. Este método trabaja razonablemente bien cuando hay algunas pocas pruebas, pero cuando el número de comparaciones es mayor que 8, el valor del “t”' requerido para concluir que la diferencia existe, se convierte en un valor mucho más grande que el que realmente se necesita que sea, y el método se convierte conservador en exceso.

Una forma para hacer la prueba t de Bonferroni menos conservadora es utilizar la estimación de la varianza de la población calculada entre los grupos en el análisis de la varianza.

t = (

1 -

2 )/ ( s² / n1 + s² / n2 )^1/2,

donde s² es la varianza de la población calculada entre los grupos.

Procedimiento de Múltiple Valores P de Hommel: Esta prueba puede ser resumida como sigue:

Suponga que tenemos n números de valores P: p(i), i = 1,.., n, en orden ascendente que corresponden a pruebas independientes. Deje que j sea el número entero más grande, por ejemplo:

p(n-j+k) > ka/j, para todo k=1,.., ,j.

Si no existe ningún j, rechace todas las hipótesis; si no, rechace todas las hipótesis con el p(i) £ a / j. Esto proporciona un fuerte control de la tasa de error familiar a un nivel a dado.

Existen otras mejoras en el ajuste de Bonferroni cuando las pruebas múltiples son independientes o positivamente dependientes. Sin embargo, el método del Hommel es el más poderoso comparado con otros métodos.

La Potencia de la Prueba (Test) y el Efecto Tamaño

La potencia de la prueba desempeña el mismo papel en la prueba de hipótesis que el error estándar juega en la estimación. Es una herramienta de medición para determinar la exactitud de una prueba o para comparar dos métodos de prueba en competencia.

La potencia de la prueba es la probabilidad de rechazar una hipótesis nula falsa cuando la hipótesis nula es falsa. Esta probabilidad se relaciona inversamente con la probabilidad de hacer un error Tipo II, no rechazando la hipótesis nula cuando es falsa. Recuerde que elegimos la probabilidad de hacer un error Tipo I cuando fijamos a. Si disminuimos la probabilidad de hacer un error Tipo I, entonces aumentamos la probabilidad de hacer un error Tipo II. Por lo tanto, existen básicamente dos tipos de errores posibles al conducir un análisis estadístico; error Tipo I, y error Tipo II:

Error Tipo I - (del productor) El riesgo de rechazar la hipótesis nula cuando esta de hecho es verdadera.
Error Tipo II- (del consumidor) El riesgo de no rechazar la hipótesis nula cuando está de hecho es falso.

Potencia y Alpha (a)(a): Así, la probabilidad de no rechazar una nula verdadera tiene la misma relación al error Tipo I que la probabilidad de rechazar correctamente una nula falsa error Tipo II. Todavía, como mencioné si disminuimos la probabilidad de hacer algún tipo de error incrementamos la probabilidad de hacer el otro tipo del error. ¿Cuál es la relación entre el error Tipo I y el Tipo II? Para un tamaño de muestra fijo, disminuir un tipo de error aumenta el tamaño del otro.

Potencia y el Efecto Tamaño: Siempre que probamos si una muestra difiere de una población, o si dos muestras vienen a partir de 2 poblaciones separadas, existe la condición de que cada una de las poblaciones que estamos comparando tenga su propia media y desviación estándar (incluso si no la sabemos). La distancia entre los dos medias de las poblaciones afectará la Potencia de nuestra prueba. Esto se conoce como el tamaño del tratamiento, también conocido como el efecto tamaño, según como se demuestra en la tabla siguiente con los tres valores mas conocidos para a:

Potencia como Función de a y del Efecto Tamaño
a

Efecto Tamaño 0,10 0,05 0,01
1,0 ,22 ,13 ,03
2,0 ,39 ,26 ,09
3,0 ,59 ,44 ,20
4,0 ,76 ,64 ,37
5,0 ,89 ,79 ,57
6,0 ,96 ,91 ,75
7,0 ,99 ,97 ,88

Hechos	Moda	Mediana	Media
1	Es el valor mas frecuente en la distribución. Es el punto de mas alto densidad.	Es el valor del punto medio de la selección (no del rango), tal que la mitad de los datos están por arriba y por debajo de ella.	Es el valor en algún agregado, el cual se obtendría si todos los valores fueran iguales.
2	Su valor es establecido por la frecuencia predominante, no por los valores en la distribución.	El valor de la media es fijado por su posición en la selección, y no refleja valores individuales.	La suma de las desviaciones en cualquier lado de la media son iguales; por lo tanto la suma algebraica de sus desviaciones es cero.
3	Este es el valor mas probable, por lo tanto el mas común.	La distancia agregada entre la mediana y cualquier otro punto de la muestra es menor que en cualquier otro punto.	Esta refleja la magnitud de cada valor.
4	Una distribución puede tener mas de 2 modas, pero no existe moda en una distribución rectangular.	Cada selección tiene solo una mediana.	Una muestra tiene solo una media.
5	No puede ser manipulada algebraicamente. Modas de subgrupos no pueden ser ponderadas o combinadas.	No puede ser manipulada algebraicamente. Medianas de subgrupos no pueden ser ponderadas o combinadas.	Pueden ser manipuladas algebraicamente. Medias de subgrupos pueden ser combinadas cuando son ponderadas apropiadamente.
6	Es inestable, puede ser influenciada en el proceso de agrupación.	Es estable en cuanto a que procedimientos para agrupar no afecta su apreciación.	Es estable en cuanto a que procedimientos para agrupar no afecta su apreciación.
7	La moda no refleja el grado de modalidad.	No es aplicable para datos cualitativos.	Podría ser calcula igualmente cuando los valores individuales son desconocidos, si se posee la suma de los valores y el tamaño de la muestra.
8	Puede ser calculada cuando los extremos de los valores de los grupos son abiertos.	Puede ser calculado cuando los valores extremos son abiertos.	No puede ser calculado de una tabla de frecuencia cuando sus valores extremos son abiertos.
9	Valores deben ser ordenados para su cálculo.	Valores deben ser ordenados y agrupados para su cálculo.	Los valores no necesitan ser ordenados para su cálculo.

Hechos

Moda

Mediana

Media

Es el valor mas frecuente en la distribución. Es el punto de mas alto densidad.

Es el valor del punto medio de la selección (no del rango), tal que la mitad de los datos están por arriba y por debajo de ella.

Es el valor en algún agregado, el cual se obtendría si todos los valores fueran iguales.

Su valor es establecido por la frecuencia predominante, no por los valores en la distribución.

El valor de la media es fijado por su posición en la selección, y no refleja valores individuales.

La suma de las desviaciones en cualquier lado de la media son iguales; por lo tanto la suma algebraica de sus desviaciones es cero.

Este es el valor mas probable, por lo tanto el mas común.

La distancia agregada entre la mediana y cualquier otro punto de la muestra es menor que en cualquier otro punto.

Esta refleja la magnitud de cada valor.

Una distribución puede tener mas de 2 modas, pero no existe moda en una distribución rectangular.

Cada selección tiene solo una mediana.

Una muestra tiene solo una media.

No puede ser manipulada algebraicamente. Modas de subgrupos no pueden ser ponderadas o combinadas.

No puede ser manipulada algebraicamente. Medianas de subgrupos no pueden ser ponderadas o combinadas.

Pueden ser manipuladas algebraicamente. Medias de subgrupos pueden ser combinadas cuando son ponderadas apropiadamente.

Es inestable, puede ser influenciada en el proceso de agrupación.

Es estable en cuanto a que procedimientos para agrupar no afecta su apreciación.

La moda no refleja el grado de modalidad.

No es aplicable para datos cualitativos.

Podría ser calcula igualmente cuando los valores individuales son desconocidos, si se posee la suma de los valores y el tamaño de la muestra.

Puede ser calculada cuando los extremos de los valores de los grupos son abiertos.

Puede ser calculado cuando los valores extremos son abiertos.

No puede ser calculado de una tabla de frecuencia cuando sus valores extremos son abiertos.

Valores deben ser ordenados para su cálculo.

Valores deben ser ordenados y agrupados para su cálculo.

Los valores no necesitan ser ordenados para su cálculo.

Hechos	La Desviación Cuartíl	La Media de Desviación Absoluta	La Desviación Estándar
1	La desviación cuartíl es fácil de calcular y entender. Sin embargo, esta es inconsistente si existen brechas entre los datos alrededor de los cuartiles.	La Media de Desviación Absoluta tiene la ventaja de dar igual peso a la desviación de cada valor con respecto a la media o la mediana.	La Desviación Estándar es normalmente mas útil y mejor adaptable a análisis mas profundos que lo que es La Media de Desviación Absoluta.
2	Solo depende de dos valores, los cuales incluyen la mitad central de los mismos.	Es una medida de dispersión más sensitiva que cualquiera de las descritas anteriormente, y normalmente tiene errores de muestreo más pequeños.	Es más adaptable como estimador de la dispersión de la población que cualquier otra medición, haciendo que la distribución sea normal.
3	Es normalmente superior al rango como una medida cruda de dispersión.	Es más fácil de calcular y entender, además es menos sensible que la desviación estándar a valores extremos.	Es la más amplia medida de dispersión usada, y la más fácil de manejar algebraicamente.
4	Esta podría ser determinada en una distribución abierta en los extremos, o en una en la cual los datos pueden ser seleccionados pero no medidos cuantitativamente.	Desafortunadamente, es muy difícil de manejar algebraicamente, dado que el signo negativo debe ser ignorado cuando se calcula.	En comparación con los demás, esta es mas difícil de calcular y de entender.
5	Es muy útil en distribuciones muy sesgadas, o en aquellas en las cuales otras medidas de dispersión serian deformadas por valores extremos.	Su aplicación principal es la precisa elección de modelos en técnicas de predicciones comparativas.	Es normalmente afectada por valores extremos, los cuales podrían ocasionar el sesgamiento de los datos.

Hechos

La Desviación Cuartíl

La Media de Desviación Absoluta

La Desviación Estándar

La desviación cuartíl es fácil de calcular y entender. Sin embargo, esta es inconsistente si existen brechas entre los datos alrededor de los cuartiles.

La Media de Desviación Absoluta tiene la ventaja de dar igual peso a la desviación de cada valor con respecto a la media o la mediana.

La Desviación Estándar es normalmente mas útil y mejor adaptable a análisis mas profundos que lo que es La Media de Desviación Absoluta.

Solo depende de dos valores, los cuales incluyen la mitad central de los mismos.

Es una medida de dispersión más sensitiva que cualquiera de las descritas anteriormente, y normalmente tiene errores de muestreo más pequeños.

Es más adaptable como estimador de la dispersión de la población que cualquier otra medición, haciendo que la distribución sea normal.

Es normalmente superior al rango como una medida cruda de dispersión.

Es más fácil de calcular y entender, además es menos sensible que la desviación estándar a valores extremos.

Es la más amplia medida de dispersión usada, y la más fácil de manejar algebraicamente.

Esta podría ser determinada en una distribución abierta en los extremos, o en una en la cual los datos pueden ser seleccionados pero no medidos cuantitativamente.

Desafortunadamente, es muy difícil de manejar algebraicamente, dado que el signo negativo debe ser ignorado cuando se calcula.

En comparación con los demás, esta es mas difícil de calcular y de entender.

Es muy útil en distribuciones muy sesgadas, o en aquellas en las cuales otras medidas de dispersión serian deformadas por valores extremos.

Su aplicación principal es la precisa elección de modelos en técnicas de predicciones comparativas.

Es normalmente afectada por valores extremos, los cuales podrían ocasionar el sesgamiento de los datos.

Pública	Privada	Pública	Privada
35	29	25	50
26	50	27	37
27	43	45	34
21	22	46	31
27	42	33
38	47	26
23	42	46
25	32	41

Pública

Privada

Pública

Privada

	Muestra P1	Muestra P2	Muestra P3
	25	17	8
	25	21	10
	20	17	14
	18	25	16
	13	19	12
	6	21	14
	5	15	6
	22	16	16
	25	24	13
	10	23	6
N	10	10	10
Media	16,90	19,80	11,50
Desv. Están.	7,87	3,52	3,81
SE Media	2,49	1,11	1,20

Muestra P1

Muestra P2

Muestra P3

Media

16,90

19,80

11,50

Desv. Están.

7,87

3,52

3,81

SE Media

2,49

1,11

1,20

Población P_i

Correlación r_i

Tamaño de Muestra n_i

0,72

0,41

0,57

0,53

0,62

0,21

0,68

0,53

0,49

0,50

Letras Griegas Comúnmente Usadas como Notaciones Estadísticas
alpha	beta	Ki al cuadrado	delta	mu	nu	pi	rho	sigma	tau	theta
a	b	c ²	d	m	n	p	r	s	t	q

	Niveles de Medición
	_________________________________________
	Nominal	Ordinal	Intervalo/Cociente
Posición	no	si	si
Diferencia Numérica	no	no	si

- Dos Alternativas de Inversión -
Inversión I		Inversión II
Pagos %	Prob.	Pagos %	Prob.
1	0,25	3	0,33
7	0,50	5	0,33
12	0,25	8	0,34

Tabla ANOVA
Origen de la Variación	Suma de Cuadrados	Grados de Libertad	Medias al Cuadrado	Estadístico F
Entre Muestras	10	2	5	2,30
Dentro de las Muestras	26	12	2.17
Total	36	14

											Media
0 oz	2	3	1	3	1	4	1	3	2	1	2,1
2 oz	3	2	1	4	2	3	1	5	1	2	2,4
4 oz	3	1	2	4	2	5	2	4	3	2	3,1

i	x_i	( x_i- )	( x_i - ) ²	( x_i - ) ³	( x_i - )⁴
1	1	-2	4	-8	16
2	2	-1	1	-1	1
3	3	0	0	0	0
4	6	3	9	27	81
Sum	12	0	14	18	98

Prueba para la Homogeneidad de Proporciones de Varias Poblaciones
Poblaciones	Si	No	Total
Muestra I	60	40	100
Muestra II	57	53	110
Muestra III	48	72	120
Total	165	165	330

Ventas Diarias de Dos Subsidiarias en 6 Meses
Ventas ($1000)	Frecuencia I	Frecuencia II
0 - 2	11	1
3 - 5	7	3
6 - 8	8	6
9 - 11	3	12
12 - 14	5	12
15 - 17	5	14
18 - 20	5	6
Sumas	44	54

Tabla Cruzada para Profesores en Escuelas Públicas y Privadas
	Públicas	Privadas	Total
Sobre la Mediana	6	8	14
Debajo de la Mediana	10	4	14
Total	16	12	28

Prueba de Bondad de Ajuste para Variables Discretas
Y	1	2	3	4	5	6
O	57	43	59	55	63	23
E	50	50	50	50	50	50

La Tabla ANOVA
Fuente de Variación	Suma de los Cuadrados	Grados de Libertad	Media al Cuadrado	Estadístico F
Entre Muestras	79,40	2	39,70	4,38
Dentro de las Muestras	244,90	27	9,07
Total	324,30	29

	x	y	x²	xy	y²
	2	2	4	4	4
	3	5	9	15	25
	4	7	16	28	49
	5	10	25	50	100
	6	11	36	66	121
SUMA	20	35	90	163	299

x Factor de Predicción	-2,2+2,3x predicción de y	y observada	error y	Error al cuadrado
2	2,4	2	-0,4	0,16
3	4,7	5	0,3	0,09
4	7	7	0	0
5	9,3	10	0,7	0,49
6	11,6	11	-0,6	0,36
			Suma=0	SumA=1,1

Análisis de los Componentes de la Varianza
Fuente	DF	Suma de los Cuadrados	Media al Cuadrado	Valor F	Prob > F
Modelo	1	52,90000	52,90000	144,273	0,0012
Error	3	SSE = 1,1	0,36667
Total	4	SS_yy = 54

Valor de \|r\|	Interpretación
0,00 – 0,40	Pobre
0,41 – 0,75	Justa
0,76 – 0,85	Buena
0,86 – 1,00	Excelente

Valores de Covarianza X y una Variable Dependiente Y
Tratamiento-I		Tratamiento-II
X	Y	X	Y
5	11	2	1
3	9	6	7
1	5	4	3
4	8	7	8
6	12	3	2

- Tamaño, Antiguedad, y Precio de Veinte Casas -
X1 = Tamaño	X2 = Antiguedad	Y = Precio	X1 = Tamaño	X2 = Antiguedad	Y = Precio
1,8	30	32	2,3	30	44
1,0	33	24	1,4	17	27
1,7	25	27	3,3	16	50
1,2	12	25	2,2	22	37
2,8	12	47	1,5	29	28
1,7	1	30	1,1	29	20
2,5	12	43	2,0	25	38
3,6	28	52	2,6	2	45

- Relación entre Edad e Ingresos (unidades en 1000 pesos) -
Edad	Ingreso	Edad	Ingreso	Edad	Ingreso
20	15	42	19	61	13
22	13	47	17	62	14
23	17	53	13	65	9
28	19	55	18	67	7
35	15	41	21	72	7
24	21	53	39	65	22
26	26	57	28	65	24
29	27	58	22	69	27
39	31	58	29	71	22
31	16	46	27	69	9
37	19	44	35	62	21

- Relación entre Edad e Ingreso ( unidades en 1000 pesos) -
Edad ( 29 - 39 )	Edad ( 40 - 59 )	Edad ( 60 óamp; mas )
15	19	13
13	17	14
17	13	9
21	21	7
15	39	21
26	28	24
27	22	27
31	26	22
16	27	9
19	35	22
19	18	7

	Planta- A		Planta- B
Meses	Unidades Producto	Hombre/ Horas	Unidades Producto	Hombre/ Horas
1	0283	200000	11315	680000
2	0760	300000	12470	720000
3	1195	530000	13395	750000
Estándar	4000	600000	16000	800000

		Año 2000		Año 2001
	Unidades Necesarias	Costos por Unidad	Total	Costos por Unidad	Total
Mano de Obra	20	10	200	11	220
Aluminio	02	100	200	110	220
Electricidad	02	50	100	60	120
Total			500		560

Hacia el Razonamiento Estadístico para la Toma de Decisiones

Análisis de Datos de Muestreos Descriptivos

Probabilidad para la Inferencia y el Modelamiento Estadístico

Condiciones Necesarias para la Toma de Decisiones estadísticas

Estimadores y sus Características

Prueba de Hipótesis: Rechazo de una Proposición

Prueba de Hipótesis para Medias y Proporciones

Prueba para la Igualdad Estadística de Dos o mas Poblaciones

Aplicación del Estadístico Chi- cuadrado

Modelos de Regresión y Análisis

Criterios Unificados de Tecnologías para Decisiones

Números Índices y Aplicaciones

Introducción al Razonamiento Estadístico para la Toma de Decisiones

El Nacimiento de la Probabilidad y la Estadística

Modelamiento Estadístico para la Toma de Decisiones Bajo Incertidumbre:Desde los Datos al Conocimiento Instrumental

Proceso de Toma de Decisiones Estadísticas

¿Que es la Estadística de Negocios?

Terminología Estadística Común y sus Usos

Letras Griegas Comúnmente Usadas como Notaciones Estadísticas

Tipo de Datos y Niveles de Medición

¿Por qué el Muestreo Estadístico?

Métodos de Muestreo

Sumario de Estadísticos

Representativo de una Muestra: Sumario de Medidas de Tendencia Central

Seleccionando Entre la Media (Mean), Mediana (Median) y Moda (Mode)

Promedios Especializados: La Media Geométrica y la Media Armónica

Histogramas: Analizando la Homogeneidad de la Población

Cómo Construir un BoxPlot

Midiendo la Calidad de la Muestra

Seleccionando entre Desviación Cuartíl, Media de Desviación Absoluta y Desviación Estándar

Forma de la Función de Distribución: Tabla de Oblicuidad-Kurtosis

Ejemplo Numérico y Discusiones

Las Dos Representaciones Estadísticas de la Población

Función de Distribución Empírica (observada) Acumulativa

Introducción

Probabilidad, Chance, Oportunidad, y Posibilidad

Como Asignar Probabilidades

Leyes Generales de la Probabilidad

Mutuamente Excluyente contra Eventos Independientes

¿Qué es tan Importante de la Distribución Normal?

¿Qué es una Distribución de Muestreo?

¿Que es el Teorema del Límite Central?

¿Qué son los Grados de Libertad (gl)?

Aplicaciones y Condiciones para usar Tablas Estadísticas

Función De Probabilidad Binomial

Función de Densidad Exponencial

Función de Densidad F

Función de Densidad Chi-cuadrado

Función de Probabilidad Multinomial

Función de Densidad Normal

Función de Probabilidad de Poisson